Arithmetische und geometrische Folgen


Arithmetische Folgen

Arithmetische Folge: an = a + (n-1) · d

Bei arithmetischen Folgen ist die Differenz d zwischen den benachbarten Gliedern a1, a2 usw. einer Folge konstant, wobei n selbstverständlich eine natürliche Zahl ist.
Sind also die Werte für a1 und d bekannt, kann man an mühelos berechnen.

Daten eingeben


Ergebnis
Im Martin finden wir hierzu ein Beispiel aus der Finanzmathematik:
Ein Unternehmen wies im Jahr 2006 einen Umsatz von 400 Mio. € aus. Der Umsatz soll jährlich um 45 Mio. € gesteigert werden. Welchen Umsatz würde das Unternehmen im Jahr 2014 erreichen?
Die Antwort ist 400 Mio. € + (9-1) · 45 Mio € = 760 Mio €.

Geometrische Folgen

Geometrische Folge: an = aqn-1

Bei geometrischen Folgen ist für zwei benachbarte Folgeglieder der Quotient konstant. Sind also die Werte für a1 und d bekannt, kann man an mühelos berechnen.

Daten eingeben


Ergebnis
Im Martin finden wir auch hierzu ein Beispiel aus der Finanzmathematik:
Ein Aktionär schätzt ein, dass der Wert eines Aktienportfolios von jetzt 6000 € jährlich um 8 % steigen könnte. berechnen Sie den Wert des Portfolios in 10 Jahren, wenn man von Ankäufen und Verkäufen absieht.

Die Antwort ist 6000 € · 1,0811-1 = 12953,55 € .

Hierbei gibt es für den normalsterblichen Nichtbanker mindestens zwei Tücken. Einerseits muss beachtet werden, dass bei der Formulierung "in 10 Jahren" n=11 ist und andererseits dass der Quotient bei einer Steigerungsrate von 8% mit 1,08 anzusetzen ist.



Hier zunächst einmal der Code für die Javascript-Berechnungen im Head-Bereich:

    1: <script language="JavaScript">
    2: function berechne_arith()
    3: {
    4:   a1 = parseFloat(document.f1.in_a1.value);
    5:   d = parseFloat(document.f1.in_d.value);
    6:   n = parseInt(document.f1.in_n.value);
    7:  
    8:   an = a1 + (n-1) * d;
    9:
   10:   document.f1.out_an.value = an;
   11:
   12: };
   13:
   14: function berechne_geom()
   15: {
   16:   a1 = parseFloat(document.f2.in_a1.value);
   17:   q = (100 + parseFloat(document.f2.in_q.value)) / 100;
   18:   n = parseInt(document.f2.in_n.value);
   19:  
   20:   an = a1 * Math.pow(q, n-1);
   21:
   22:   document.f2.out_an.value = Math.round(an*100)/100;
   23:
   24: };
   25: </script>


Es folgt der Quellcode für die beiden Formulare im Body-Bereich:

    1: <form name="f1" action="javascript:berechne_arith()">
    2:   <fieldset>
    3:     <legend>Daten eingeben</legend>
    4:
    5:     <label for="in_a1">Anfangswert a<sub>1</sub></label>
    6:     <input type="text" name="in_a1" value="400">
    7:     <br>
    8:
    9:     <label for="in_d">Differenz d</label>
   10:     <input type="text" name="in_d" value="45">
   11:     <br>
   12:  
   13:     <label for="in_n">n</label>
   14:     <input type="text" name="in_n" value="9">
   15:     <br>
   16:
   17:     <button type="submit" name="b1" value="berechne">Berechnen</button>
   18:     <button type="reset" name="b1" value="reset">Zurücksetzen</button>
   19:
   20:   </fieldset>
   21:  
   22:   <fieldset>
   23:     <legend>Ergebnis</legend>
   24:     <label for="out_an">a<sub>n</sub></label>
   25:     <input type="text" name="out_an" value="" readonly="readonly">
   26:   </fieldset>
   27: </form>



    1: <form name="f2" action="javascript:berechne_geom()">
    2:   <fieldset>
    3:     <legend>Daten eingeben</legend>
    4:
    5:     <label for="in_a1">Anfangswert a<sub>1</sub></label>
    6:     <input type="text" name="in_a1" value="6000">
    7:     <br>
    8:
    9:     <label for="in_d">Quotient q in %</label>
   10:     <input type="text" name="in_q" value="8">
   11:     <br>
   12:  
   13:     <label for="in_n">n</label>
   14:     <input type="text" name="in_n" value="11">
   15:     <br>
   16:
   17:     <button type="submit" name="b1" value="berechne">Berechnen</button>
   18:     <button type="reset" name="b1" value="reset">Zurücksetzen</button>
   19:
   20:   </fieldset>
   21:  
   22:   <fieldset>
   23:     <legend>Ergebnis</legend>
   24:     <label for="out_an">a<sub>n</sub></label>
   25:     <input type="text" name="out_an" value="" readonly="readonly">
   26:   </fieldset>
   27: </form>



Literatur


T Martin: Finanzmathematik, Fachbuchverlag Leipzig, 2008.

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