Chemisches Rechnen

Wichtige Größen in der Chemie

NameFor­melEin­heit
Teilchenanzahl\(N \)
Avogadro-Konstante\( N_A =\dfrac{N}{n} \approx \dfrac{6,022 \cdot 10^{23}}{mol} \)
Stoffmenge\(n=\dfrac{m}{M} \)\(1 \, mol\)
Masse\(m=n \cdot M\)\(1 \, kg = 1000 \, g\)
Dichte (rho)\( \rho=\dfrac{m}{V} \)\( 1 \, \dfrac{g}{cm^3} \)
Volumen\(V=\dfrac{m}{\rho}\)\(1 \, mL = 1 \, cm^3 = 0,001 \, L\)
Molares Volumen\(V_m = \dfrac{V}{n}\)\(1\, \dfrac{L}{mol}\)
Massenanteil\(w(B)=\dfrac{m(B)}{m(gesamt)} \cdot 100\%\)%
Volumenanteil (phi)\(\phi(B)=\dfrac{V(B)}{V(gesamt}\)%
In der Che­mie gebräuch­li­che Grö­ßen und For­meln.

Berechnung der Stoffmenge und der molaren Masse

1 mol eines Stof­fes ent­spricht 6,02214076⋅1023 Teil­chen, egal ob es sich um Ato­me oder Mole­kü­le han­delt. Die Stoff­men­ge lässt sich über die For­mel (n=frac{m}{M}) berech­nen mit der Mas­se m und der Mola­ren Mas­se M. Die­se For­mel lässt sich leicht mer­ken über die Esels­brü­cke "nie mehr Män­ner".

Atom­mas­sen fin­den sich in jedem Peri­oden­sys­tem, so z.B. für Was­ser­stoff 1,01. Damit ist die mola­re Mas­se für Was­ser­stoff­mo­le­kü­le ( 2 cdot 1,01 , frac{g}{mol}=2,02,frac{g}{mol}).

Im Schul­be­trieb genü­gen nor­ma­ler­wei­se die gerun­de­ten Wer­te, sodass die mola­re Mas­se von Was­ser­stoff mit (M(H_2)=2,frac{g}{mol}) berech­net wird.

For­melNameMola­re Mas­se in \( \frac{g}{mol} \)
COKohlenstoffmonoxid\(M =1\cdot12+1\cdot16=28\)
H2OWasser\(M =2\cdot1+1\cdot16=18\)
C6H12O6Glucose\(M =6\cdot12+12\cdot1+6\cdot16=180\)
Ca(OH)2Calciumhydroxid\(M =1\cdot40+2\cdot16+2\cdot1=74\)
C9H13NO3Adrenalin\(M =9\cdot12+13\cdot1+1\cdot14+3\cdot16=183 \)
C17H21NO4Kokain\(M =17\cdot12+21\cdot1+1\cdot14+4\cdot16=303\)
Bei­spie­le zur Berech­nung der Mola­ren Mas­se aus den Atom­mas­sen.

Berechnung der Dichte

Für die Berech­nung der Dich­te exis­tiert die bekann­te For­mel (rho=frac{m}{V}). Bei ein­fach auf­ge­bau­ten geo­me­tri­schen Kör­pern, wie etwa einem Qua­der oder einem Zylin­der, las­sen sich die Volu­mi­na rela­tiv pro­blem­los berech­nen. Sind die Kör­per kom­pli­zier­ter auf­ge­baut, kön­nen wir das Prin­zip von Archi­me­des zu Rate zie­hen.

Archi­me­des soll­te her­aus­fin­den, ob eine angeb­lich gol­de­ne Kro­ne echt ist und erkann­te bei einem Wan­nen­bad, dass das ver­dräng­te Volu­men in der Wan­ne dem Volu­men sei­nes Kör­pers ent­sprach. In der Schu­le ver­wen­det man gewöhn­lich kei­ne Bade­wan­ne, son­dern muss sich hier­für mit einem Mess­zy­lin­der behel­fen. Das Anfangs­vo­lu­men an Was­ser im Mess­zy­lin­der wird bestimmt. Danach wird der Kör­per in den Mess­zy­lin­der gebracht und schließ­lich wird noch ein­mal das Volu­men abge­le­sen. Jetzt kann man aus der Dif­fe­renz der bei­den Volu­mi­na das Volu­men des Kör­pers berech­nen.

Berechnungen bei Gasen

Bei Gasen ist der Abstand zwi­schen den Teil­chen beson­ders groß und damit die Wech­sel­wir­kung zwi­schen die­sen beson­ders klein. Bei einem idea­len Gas geht man davon aus, dass über­haupt kei­ne der­ar­ti­ge Wech­sel­wir­kung besteht. In der Pra­xis gehen wir ver­ein­facht davon aus, dass sich alle Gase wie ein idea­les Gas ver­hal­ten.

Das mach uns die Arbeit beson­ders ein­fach. Ein Mol eines Gases nimmt unter Norm­be­din­gun­gen, also 101,3kPa und 0°C, ein Volu­men von 22,4L ein. Das mola­re Volu­men beträgt unter Norm­be­din­gun­gen (V_m=22,4, frac{L}{mol}). Bei Raum­tem­pe­ra­tur, also 25°C, sind es (V_m=24, frac{L}{mol}).

GasNorm­vo­lu­men in L/mol
Wasserstoff22.42
Stickstoff22.39
Sauerstoff22.39
Helium22.41
Kohlenstoffdioxid22.26
Schwefeldioxid21.89
Norm­vo­lu­mi­na ver­schie­de­ner rea­ler Gase.

Die Stoff­men­ge eines Gases lässt sich mit (n=frac{V}{V_m}) berech­nen. Möch­te man hin­ge­gen aus der Stoff­men­ge auf das Volu­men schlie­ßen, stellt man die Glei­chung um und erhält (V=n cdot V_m).

Übungsaufgaben

Berechnung der Dichte

100 mL einer Flüs­sig­keit wie­gen $87,0g$. Berech­nen Sie die Dich­te der Flüs­sig­keit.

$$
\begin{align*}
\rho &= \frac{m}{V} \\
&= \frac{87g}{0,1L}\\
&= 870 g/L\\
&= \underline{0,87g/mL}
\end{align*}
$$

Die Dich­te der Flüs­sig­keit beträgt $0,87 \frac{g}{mL} $.

Berechnung des Volumens aus der Dichte

Gold hat eine Dich­te von $19,3 \frac{g}{cm^3}$. Berech­nen Sie das Volu­men von 50 kg Gold.

$$
\begin{equation*}
\begin{split}
V &= \frac{m}{rho}\\
&=\frac{50000g}{19,3\frac{g}{cm^3}} &=2591cm^3 &
\approx \underline{2,6,L}
\end{split}
\end{equation*}
$$

50 kg Gold neh­men ein Volu­men von etwa 2,6 L ein.

Berechnung der Masse aus dem Volumen

Etha­nol hat eine Dich­te von $0,78 \frac{g}{cm^3}$. Berech­nen Sie die Mas­se von (0,75,L) Etha­nol.

$$
\begin{equation*}
\begin{split}
m &=\rho \cdot V\\
& = 0,78 \frac{g}{cm^3} \cdot 750cm^3\\
& \approx \underline{585 g}
\end{split}
\end{equation*}
$$

0,75 L Etha­nol besit­zen eine Mas­se von 585 g.

Berechnung des Massenanteils

Der Gold Eagle ist eine Gold­mün­ze, die auch heu­te noch in den USA geprägt wird. Sie wiegt $33,93g$. Hier­von sind aller­dings ledig­lich $31,10g$ Gold. Berech­nen Sie den Mas­sen­an­teil an Gold im Gold Eagle.

$$
\begin{equation*}
\begin{split}
w(Gold) & = \frac{m(Gold)}{m(Gesamt)} & = \frac{31,1g}{33,93g} \cdot 100% \\
& \approx \underline{91,66,%}
\end{split}
\end{equation*}
$$

Der Mas­sen­an­teil an Gold beträgt 91,66%.

Berechnung des Volumenanteils

In einer Bier­fla­sche befin­den sich $0,5,L$ Bier. Hier­von sind $26,5,mL$ Etha­nol.
Die­ses hat eine Dich­te von $0,78 \frac{g}{cm^3}$.

Berech­nen Sie den Volu­men­an­teil an Etha­nol in der Bier­fla­sche.

$$
\begin{equation*}
\begin{split}
\phi(Bier) & = \frac{V(Ethanol)}{V(Bier)} \cdot 100 %\\
& = \frac{0,0265,L}{0,5,L} \cdot 100 %\\
& \approx \underline{5,3 %}
\end{split}
\end{equation*}
$$

Das Bier hat einen Volu­men­an­teil an Alko­hol von 5,3%.

Vollständige Verbrennung von Kohle

$$
\ce{C (s) + O2 (g) -> CO2 (g)}
$$
Berech­nen Sie die Mas­se an Koh­len­stoff­di­oxid, das bei der Reak­ti­on von 6g Koh­len­stoff mit Sauer­stoff zu Koh­len­stoff­di­oxid ent­steht.

$$
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{n(C)}{n(CO_2)} &= \frac{1}{1}\\
n(C) &= \frac{m(C)}{M(C)}\\
n(C) &= \frac{6g}{12 \frac{g}{mol}}\\
n(C) &= 0,5 mol\\
n(CO_2) &= n(C)\\
m(CO_2) &= n(CO_2) cdot M(CO_2)\\
m(CO_2) &= 0,5mol cdot 44 \frac{g}{mol}\\
m(CO_2) &= \underline{22g}
\end{split}
\end{equation*}
$$

Bei der Ver­bren­nung von 6g Koh­len­stoff ent­ste­hen 22g Koh­len­stoff­di­oxid.

Schwefeldioxid bei der Verbrennung von Steinkohle

$$
\ce{
S (s) + O2 (g) -> SO2 (g)
}
$$
Berech­nen Sie die Mas­se und das Volu­men Schwe­fel­di­oxid, die bei der Ver­bren­nung von 1 t Stein­koh­le ent­ste­hen.

$$
\begin{align*}
\frac{n(S)}{n(SO_2)} &= \frac{1}{1}\\
m(S) &= 1t \cdot 0,015 = 150000g\\
n(S) &= \frac{m(S)}{M(S)}\\
n(S) &= \frac{15000g}{32frac{g}{mol}}\\
n(S) &= 468,8mol
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
n(SO_2) &= n(S)\\
m(SO_2) &= n(SO_2) \cdot M(SO_2)\\
m(SO_2) &= 468,8mol \cdot 64 frac{g}{mol}\\
m(SO_2) &= 29990g
m(SO_2) & \approx 30kg\\
V(SO_2) &= n(SO_2) \cdot V_m\\
V(SO_2) &= 468,8mol \cdot 22,4frac{L}{mol}\\
V(SO_2) & \approx \underline{10501,L}
\end{align*}
$$

Bei der Ver­bren­nung von einer Ton­ne Stein­koh­le ent­ste­hen 10501 L Schwe­fel­di­oxid.

Synthese von Wasser auf dem Mars

In dem Buch „Der Mar­sia­ner“ von Andy Weir will der Prot­ago­nist Mark Wat­ney Kar­tof­feln auf dem roten Pla­ne­ten anbau­en und benö­tigt dazu Was­ser. Er stellt Was­ser­stoff her und lässt es mit Sauer­stoff zu Was­ser reagie­ren.

$$
\ce{2 H2 (g) + O2 (g) -> 2 H2O (l)}
$$

Berech­nen Sie, aus­ge­hend von der Reak­ti­ons­glei­chung für die Knall­gas­re­ak­ti­on, wie viel Liter Was­ser­stoff Marc Wat­ney bei Raum­tem­pe­ra­tur ver­bren­nen muss, um 400 L Was­ser her­zu­stel­len. Die Dich­te von Was­ser beträgt (1frac{g}{cm^3}).

$$
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{n(H_2O)}{n(H_2)} &= \frac{2}{2} = frac{1}{1}\\
n(H_2O) & = \frac{m(H_2O)}{M(H_2O)}\\
n(H_2O) & = \frac{400000g}{18frac{g}{mol}}\\
n(H_2O) & = 22222mol\\
n(H_2O) & = n(H_2) = \frac{V(H_2)}{V_m}\\
V(H_2) &= n(H_2) cdot V_m\\
& = 22222mol \cdot 24frac{L}{mol}\\
& \approx \underline{533330,L}
\end{split}
\end{equation*}
$$

Es wer­den 533330 L Was­ser­stoff benö­tigt, um 400 L Was­ser her­zu­stel­len.